Fermi Dirac Aplikasi

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Panas Jenis Gas Elektron

Salah satu penerapan statistik Fermi-Dirac adalah pada panas jenis gas elektron. Karena panas jenis gas elektron ini tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan statistik Maxwell-Boltzmann. Sekarang kita akan mengkajinya dengan statistik Fermi-Dirac. Meskipun energi untuk elektron dianggap lebih besar dari statistik sebelumnya, namun perubahan energi terhadap temperatur sangat kecil, dan hanya berubah dalam pengaruh kapasitas panas. Salah satu hal mengenai statistik Maxwell-Boltzmann, yakni yang dinyatakan oleh Dulog-Petit adalah sebesar 3R, yang terjadi jika terdapat pembagian energy yang sama antara atom dan elektron bebas, dimana elektron tersebut akan menyumbangkan 3R/2 per mol untuk kapasitas panas.

            Seperti halnya pada gas monoatomik, sekarang dapat dilihat bahwa walaupun dalam statistik Fermi-Dirac, distribusi energinya lebih besar untuk elektron dibandinkan dengan teori lama. Ini terjadi karena temperaturnya sangat kecil. Sehingga, energi rata-rata  untuk sebuah elektron dideinisikan dengan cara yang sudah umum yaitu.

................................ 2.1

            Pda temperatur T = 0K, dengan mengintegralkan batas atas dengan w_mo, sedangkan pada temperature ini tidak terdapat elektron yang memiliki energy yang lebih besar dari w_mo. Untuk w < w_mo, dan pada T = 0 K, maka dari persamaan  akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

............................................................ 2.2

Sehingga diperoleh nilai adalah sebagai berikut.

...................................................................... 2.3

Energi rata-rata pada sembarang temperatur diperoleh dengan cara yang sama, dengan menggunakan perluasan deret untuk w_m sebagai fungsi T dan integrasi dari 0 sampai , sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

                                                                2.4

Energi internal total U dari N elektron adalah

                             U =  N   

dan kapasitas panas pada volume konstan adalah

                            

Jika N sama dengan bilangan Avogadro, Nk = R dan C_v menjadi panas jenis molar c_v  yaitu :

                                                                                                  2.5

Statistik Maxwell-Boltzmann meramalkan bahwa R, tidak bergantung pada temperatur. Sedangkan hasil yang diperoleh oleh Fermi Dirac, berbanding lurus dengan temperatur.

2.2 Emisi Termionik

Elektron-elektron di dalam konduktor muncul di permukaan konduktor dengan energi yang cukup dapat lepas melewati permukaan. Peristiwa ini disebut emisi termionik. Pemancaran elektron-elektron dapat digambarkan dengan elektrode pengumpul pada potensial positif relatif terhadap permukaan pemancar. Jika beda potensial antara elektrode pengumpul dan pemancar (emiter) cukup besar, semua elektron yang dipancarkan akan terkumpul. Berkaitan kerapatan arus pada permukaan pemancar disebut rapat arus jenuh, J_sat, dan kita sekarang menunjukkan bagaimana hal ini bisa dihitung.

            Ambillah sumbu X sebagai normal terhadap permukaan, dan anggaplah pertama-tama elektron-elektron ini dengan komponen kecepatan tertentu v_x. Jika luas permukaan logam adalah A, jarak yang ditempuh elektron menuju permukaan logam adalah s, Dalam selang waktu dt, semua elektron dalam jarak v_x dt dari permukaan akan mencapai permukaan dalam waktu dt dengan komponen kecepatan v_x sama dengan jumlah komponen kecepatan yang diisi dalam volume . Persamaan  kemudian disubstitusi pada persamaan

, maka di peroleh persamaan sebagai berikut

Pada semua permukaan konduktor ada suatu yang disebut potensial barrier, yaitu suatu daerah sempit dalam dimana medan listrik mengarahkan sedemikian elekteron bergerak pelan ke bawah mendekati permukaan dari dalam. Hanya elektron-elektron dengan energi yang cukup besar dapat mengatasi potensial barrier, melompati permukaan, dan memberi kontribusi terhadap arus emisi.

Elektron dengan energi yang lebih kecil akan kembali ke dalam logam. Misalkan w_B adalah energi kinetik minimum, normal terhadap permukaan, yang mana elektron-elektron harus melawan potensial barrier. Kerapatan arus saturasi (jenuh) diperoleh dengan mengintegrasi peramaan

 dari w_B sampai tak hingga.

Dalam rentangan integrasi, w_x selalu lebih besar daripada w_B, dan haruslah dianggap bahwa w_x lebih besar daripada w_B. Hal ini disebabkan, karena pada temperatur biasa, elektron-elektron dalam logam tidak lepas secara spontan. Oleh karena itu,  dalam rentangan integrasi adalah bilangan negatif besar, suku eksponensial adalah kecil, dan dengan menggunakan aproksimasi , maka akan muncul persamaan baru seperti berikut

Jika:

 dan

, maka persamaan  akan menjadi:

Persamaan  adalah Persamaan Dushman untuk Emisi Termionik.

2.3 Fenomena Bintang Kerdil Putih

Statistika Fermi-Dirac diperkenalkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac pada tahun 1926. Pada tahun itu pula, Ralph H. Fowler memanfaatkannya untuk menggambarkan keruntuhan bintang menjadi katai putih (bintang kerdil putih) atau White Dwarf Star.

Di jagat raya ini, logam bukan merupakan satu-satunya sistem yang mengandung gas fermion. Sistem lain yang juga mengandung gas fermion salah satunya adalah bintang kerdil putih. Sekitar 10% dari banyaknya bintang di galaksi kita merupakan bintang kerdil putih, yaitu bintang yang ada dalam tahap akhir evolusinya. Pada Januari 2009, Research Consortium pada proyek Bintang Terdekat (The Research Consortium On Nearby Stars Project) menghitung delapan bintang kerdil putih di antara seratus sistem bintang terdekat matahari. Pada umumnya bintang kerdil putih memiliki massa sekitar setengah kali massa matahari dan ukurannya hampir sama dengan bumi.

Gambar dari bintang Sirius A dan Sirius B. Sirius B merupakan bintang kerdil putih.

Setelah materi dalam bintang kerdil putih tidak lagi mengalami reaksi nuklir (reaksi fusi), maka bintang tidak lagi memiliki sumber energi. Oleh karenanya, bintang akan berkontraksi (mengerut) secara gravitasional (mengalami keruntuhan gravitasi) sehingga bintang kerdil putih akan mengalami pemampatan. Pemampatan yang dialami bintang kerdil putih akan meningkatkan jumlah elektron dalam volume tertentu.

Dengan mulai berakhirnya reaksi nuklir bintang, inti mulai mendingin dan saling berdekatan di bawah pengaruh gravitasi. Karena bahan kerdil putih tidak terdiri dari atom yang terikat oleh ikatan kimia, melainkan terdiri dari plasma (inti yang tidak terikat dan elektron), maka tidak ada hambatan untuk menempatkan inti lebih dekat satu sama lain daripada orbital elektron orbital (daerah yang ditempati oleh elektron).

Apa yang akan terjadi ketika plasma ini didinginkan dan energi tidak lagi dihasilkan. Paradoks ini kemudian dipecahkan oleh RH Fowler pada tahun 1926 dengan menggunakan sebuah aplikasi dari mekanika kuantum yang baru dibuat. Karena elektron mematuhi prinsip eksklusi Pauli, tidak ada dua elektron dapat menempati keadaan yang sama, dan mereka harus mematuhi statistik Fermi-Dirac, juga diperkenalkan pada tahun 1926 untuk menentukan distribusi statistik partikel yang memenuhi prinsip eksklusi Pauli. Pada suhu nol, elektron tidak mungkin semuanya menempati energi terendah (ground state), beberapa dari mereka harus menempati keadaan energi yang lebih tinggi. Keadaan elektron ini disebut dengan keadaan degenerasi (membentuk gas degenerasi), yang berarti bintang kerdil putih dapat mendingin hingga suhu terendah namun masih dapat memproses energi yang tinggi (http://en.wikipedia.org/wiki/White_dwarf).

Ketika calon bintang kerdil putih mulai mengerut, volume bintang tersebut (V) akan berkurang dan energi fermi elektronnya akan bertambah sesuai dengan persamaan:

Perkiraan nalar energi fermi pada sebuah bintang kerdil putih adalah 0,5 MeV. Gas elektron menjadi bertambah panas saat bintang tersebut mengerut. Walaupun massa elektron total hanya merupakan fraksi kecil dari massa bintang, namun pada akhirnya gas elektron tersebut menimbulkan tekanan yang cukup untuk menahan pengerutan gravitasional. Jadi ukuran bintang kerdil putih ditentukan oleh keseimbangan antara tarikan gravitasional ke dalam inti atomik dan tekanan gas elektron degenerasi.

Dalam bintang kerdil putih, hanya elektron dengan energi tertinggi yang dapat memancarkan cahaya. Bintang kerdil putih tetap akan meradiasikan energi yang dimilikinya secara bertahap. Namun, karena sudah tidak memiliki sumber energi, maka bintang akan mulai mendingin seiring waktu. Warnanya pun akan berubah memerah, kemudian saat bintang itu berhenti memancarkan cahaya, bintang tersebut akan menjadi bintang kerdil hitam yang merupakan gumpalan benda mati (Beiser, 1987).